关于用最简分数逼近的度量理论：定量的Koukoulopoulos-Maynard定理

给定$\psi: \mathbb{N} \to [0,1/2]$。近期由Koukoulopoulos和Maynard解决的Duffin-Schaeffer猜想断言：对于几乎所有实数$\alpha$，不等式$|\alpha - p/q| < \psi(q)/q$存在无穷多互素解$(p,q)$，只要级数$\sum_{q=1}^\infty \varphi(q) \psi(q) / q$发散。在本文中，我们建立了该结果的定量版本，证明对几乎所有$\alpha$，满足$q \leq Q$的互素解$(p,q)$的个数具有渐近阶$\sum_{q=1}^Q 2 \varphi(q) \psi(q) / q$。证明依赖于Koukoulopoulos和Maynard发明的GCD图方法，结合来自筛法的精细重叠估计，以及关于“整数解剖”的数论输入。关键现象是：随着集合系统总质量的增加，该逼近集合系统表现出“平均渐近独立”。