Erd\H{o}s整数稀疏近似问题与最大公约数图
数论
2025-02-14 v1 组合数学
动力系统
摘要
设mathcal{A}subsetmathbb{R}_{geqslant1}为一个可数集合，使得limsup_{x to infty}frac{1}{log x}sum_{alpha in mathcal{A}cap[1,x]}frac{1}{alpha}>0。我们证明，对于每一个varepsilon>0，存在无穷多个偶对(alpha,beta)in mathcal{A}^2使得alpha neq beta且|n alpha- beta|<varepsilon，其中n为正整数。这解决了Erd\H{o}s于1948年提出的问题。在证明中，最大公约数图的算力在关键作用。这些图是在第一作者与James Maynard在其关于Duffin-Schaeffer猜想的Diophantine近似工作中引入的。
引用
@article{arxiv.2502.09539,
title = {Erd\H{o}s's integer dilation approximation problem and GCD graphs},
author = {Dimitris Koukoulopoulos and Youness Lamzouri and Jared Duker Lichtman},
journal= {arXiv preprint arXiv:2502.09539},
year = {2025}
}
备注
47 pages, 1 figure