殆素数间的小间隙、奇偶性问题和 Erd\H{o}s 关于连续整数的若干猜想 II

本文意在作为此处四位合著者所写论文 arXiv:0803.2636 的续篇。该文中，他们证明了 Erd\H{o}s-Mirksy 猜想的更强形式，即存在无穷多个正整数 $x$ 使得 $d(x)=d(x+1)$，其中 $d(x)$ 表示 $x$ 的因子个数。此猜想首先由 Heath-Brown 于 1984 年证明，但其方法未揭示此类 $x$ 所对应的 $d(x)$ 值集合的性质。特别地，当时无法得出存在某个特定值 $A$ 使得 $d(x)=d(x+1)=A$ 无穷多次成立。在先前论文 arXiv:0803.2636 中，作者展示了存在无穷多个正整数 $x$ 使得 $x$ 与 $x+1$ 均具有指数模式 $\{2,1,1,1\}$，从而 $d(x)=d(x+1)=24$。类似结果对特定偏移 $n$ 即 $x$ 与 $x+n$ 无穷多次具有相同固定指数模式已知。这曾对为偶数或不被一对孪生素数之积整除的偏移 $n$ 成立。本文旨在对任意偏移 $n$ 给出关于指数模式的简单证明。