整数最大本原集的个数

若一个整数集合不包含整除另一个元素的元素，则称其为\emph{本原}的。记 $f(n)$ 为 $\{1,\ldots, 2n\}$ 中最大尺寸本原子集的个数。我们证明极限 $\alpha=\lim_{n\rightarrow \infty}f(n)^{1/n}$ 存在。此外，我们提出一种算法，可在 $N(\varepsilon)$ 步内以 $(1+\varepsilon)$ 的乘性误差逼近 $\alpha$，特别地表明 $\alpha\approx 1.318$。我们的算法也可用于估计 $\{1,\ldots, n\}$ 中所有本原集的个数。我们讨论了 Cameron 和 Erd\H{o}s 提出的另一个相关问题。他们证明了 $\{1,\ldots, n\}$ 中两两互素整数集合的个数介于 $2^{\pi(n)}\cdot e^{(\frac{1}{2}+o(1))\sqrt{n}}$ 与 $2^{\pi(n)}\cdot e^{(2+o(1))\sqrt{n}}$ 之间。我们证明这两个界均不紧：事实上存在 $2^{\pi(n)}\cdot e^{(1+o(1))\sqrt{n}}$ 个这样的集合。