整数极大和自由子集数量的紧界

Cameron和Erdős提出疑问，$\{1, \dots, n\}$中\emph{极大}和自由集的数量是否远小于和自由集的数量。在同一篇论文中，他们给出了极大和自由集数量的下界$2^{\lfloor n/4 \rfloor}$。这里，我们证明如下：对于每个$1\leq i \leq 4$，存在常数$C_i$，使得给定任意$n\equiv i \mod 4$，$\{1, \dots, n\}$包含$(C_i+o(1)) 2^{n/4}$个极大和自由集。我们的证明利用了Green的容器引理和移除引理、Deshouillers、Freiman、Sós和Temkin的结构性结果，以及Green和Morris关于具有小和集的整数子集数量的最新界。我们还讨论了关于阿贝尔群中极大和自由子集数量的相关结果和开放问题。