关于随机整数集中不含常数倍数的子集

对于有理数$r>1$，若正整数集合$A$不包含方程$rx = y$的任何解，则称$A$为$r$-无倍集。关于估计包含在$[n]:=\{1,2,...,n\}$中的$r$-无倍集最大可能大小的极值问题，因其在组合数论中的自身兴趣以及在编码理论中的应用而受到研究。设$a$、$b$为正整数，满足$a<b$且$a$与$b$的最大公约数为 1。Wakeham 和 Wood 证明了包含在$[n]$中的$(b/a)$-无倍集的最大大小为$\frac{b}{b+1}n+O(\log n)$。在本文中，我们将此结果推广如下：对于实数$p\in (0,1)$，令$[n]_p$为通过以概率$p$随机且独立地选择每个元素$i\in [n]$而获得的整数集。我们证明，包含在$[n]_p$中的$(b/a)$-无倍集的最大可能大小为$\frac{b}{b+p}pn+O(\sqrt{pn}\log n \log \log n)$，其概率在$n\to \infty$时趋于 1。