整数乘法 Sidon 集的个数

自然数集 $S$ 若其中所有两两元素的乘积互异，则称为乘法 Sidon 集。Erdős 于 1938 年研究了 $\{1,\ldots, n\}$ 中乘法 Sidon 子集的最大大小，其后该值被确定至低阶项：$\pi(n)+\Theta(\frac{n^{3/4}}{(\log n)^{3/2}})$。我们证明 $\{1,\ldots, n\}$ 中乘法 Sidon 子集的个数为 $T(n)\cdot 2^{\Theta(\frac{n^{3/4}}{(\log n)^{3/2}})}$，其中某一函数 $T(n)\approx 2^{1.815\pi(n)}$ 由我们明确给出。这是指数中低阶项量级被确定的罕见例子。它解决了 Cameron 与 Erdős 于 80 年代发起的乘法 Sidon 集计数问题。我们还研究了其对广义乘法 Sidon 集的推广。记 $S_k$（$k\ge 2$）为 $\{1,\ldots, n\}$ 中乘法 $k$-Sidon 子集的个数。我们证明 $S_k(n)=(\beta_k+o(1))^{\pi(n)}$，其中 $\beta_k$ 由我们显式定义。我们的证明是初等的。