关于有限 $\mathbb{R}^N$ 子集中最大Sidon 子集的问题

我们得到了关于任意有限整数集合中最大Sidon子集的新下界。如果 $H(n)$ 表示所有n元素整数子集中包含的最大Sidon子集的最小值，则我们证明 $H(n) \geqslant \left(\frac{1}{3\sqrt 3}+o(1)\right)\sqrt n \gtrsim 0.19\sqrt n$。这改进了与Erd\H{o}s关于任意整数集合Sidon子集的猜想有关的Abbott的下界。主要工具是产生大型子集的压缩引理，这些子集允许将其中的整数映射到循环群中，以注入Freiman $2$-态射。结合Singer对 $\mathbb Z/(q^2+q+1)\mathbb Z$ 用Sidon集覆盖，这产生了上述界限。我们进一步通过投影方法和保持Sidon方程的Dirichlet逼近，将结果推广到有限子集 $\mathbb R^N$，在维数上保持一致。因此，任意由n个点组成的集合 $\mathbb R^N$ 包含至少 $\left(\frac{1}{3\sqrt 3}+o(1)\right)\sqrt n$ 的Sidon子集。我们还讨论了对 $B_2[g]$ 集合的改造，得到阶 $\frac{1}{3\sqrt 3}\sqrt{gn}$ 的下界，并说明该方法可适用于其他线性加法约束。