通过单纯形格点堆积改进 Sidon 集的界

阿贝尔群 $G$ 中的一个 $B_h$ 集（或称 $h$ 阶 Sidon 集）是指 $G$ 的任意子集 $\{b_0, b_1, \ldots,b_{n}\}$，其满足所有和式 $b_{i_1} + \cdots + b_{i_h}$ 在加项次序不计的意义下互不相同。令 $\phi(h,n)$ 表示包含一个基数为 $n + 1$ 的 $B_h$ 集的最小阿贝尔群的阶。本文证明 $$\lim_{h \to \infty} \frac{ \phi(h,n) }{ h^n } = \frac{1}{n! \delta_L(\triangle^n)} ,$$ 其中 $\delta_L(\triangle^n)$ 是 $n$-单纯形在欧氏空间中的格点堆积密度。这一结果在堆积密度已知的情形（$n \leq 3$）精确确定了渐近行为，并在其余情形给出了 $\phi(h,n)$ 的改进界。文中还给出了有限阿贝尔群中 $h$ 阶基的相应几何刻画，即用单纯形格点覆盖来描述。