大数邮票问题的改进界限

设 $F_h(n)$ 表示 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的最小 $h$-倍基集合基数：即集合 $S$ 使得 $\{1,2,\cdots, n\}$ 中每个整数都可以表示为来自 $S$ 的最多 $h$ 个元素的和。虽然已知平凡界限 $h!n \; \lesssim \; F_h(n)^h \; \lesssim \; h^h n$，但对于 $h>2$ 的情形，已知结果相对较少。本文对 sufficiently large $h$ 时 $F_h(n)$ 的两个最佳已知界限进行了显著改进。对于下界，我们采用概率方法结合韦伯-埃森定理来改进因于 Yu. 的最佳已知渐近结果。我们还通过利用 Jia 和 Shen 关于有限循环群可加基的构造，建立了 $F_h(n)$ 的第一个非平凡渐近上界。特别是，我们证明给定任意 $\epsilon>0$，当 $h$ 足够大时，有 $$\left(\frac{1}{2}-\epsilon\right)h!\sqrt{2\pi e} n\; \leq \; F_h(n)^h \; \leq \; \left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\epsilon\right)h\right)^h n.$$