贪心 $B_h$-集的界

非负整数集合 $A$ 被称为 $B_h$-集，如果 $a_1+\dots+a_h = b_1+\dots+b_h$（其中 $a_i,b_i \in A$）的每个解都满足 $\{a_1,\dots,a_h\}=\{b_1,\dots,b_h\}$（作为多重集）。设 $\gamma_k(h)$ 为贪心 $B_h$-集的第 $k$ 个正元素。我们给出了 $\gamma_5(h)$ 的一个非平凡下界，以及对于 $k\ge 5$ 时 $\gamma_k(h)$ 的一个非平凡上界。具体而言，$\frac 18 h^4 +\frac12 h^3 \le \gamma_5(h) \le 0.467214 h^4+O(h^3)$，尽管我们猜想 $\gamma_5(h)=\frac13 h^4 +O(h^3)$。我们证明了对于 $k\ge 1$，$\gamma_k(h) \ge \frac{1}{k!} h^{k-1} + O(h^{k-2})$，以及 $\gamma_k(h) \le \alpha_k h^{k-1}+O(h^{k-2})$，其中 $\alpha_6 := 0.382978$，$\alpha_7 := 0.269877$，且对于 $k\ge 7$，$\alpha_{k+1} := \frac{1}{2^k k!} \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k-1}j\binom kj 2^j$。本文以详尽的引言开始，并以一节开放问题结束。