贪心 $B_h$-集中的第四个正元素

对 $h \geq 1$，$B_h$-集是一类整数集，使得每个整数 $n$ 至多有一种表示为 $n = a_{i_1} + \cdots + a_{i_h}$ 的形式，其中对所有 $r = 1,\ldots, h$ 有 $a_{i_r} \in A$ 且 $a_{i_1} \leq \ldots \leq a_{i_h}$。贪心 $B_h$-集是按如下方式构造的非负整数无限集 $\{a_0(h), a_1(h), a_2(h), \ldots \}$：若 $a_0(h) = 0$ 且 $\{a_0(h), a_1(h), a_2(h), \ldots, a_k(h) \}$ 是一个 $B_h$-集，则 $a_{k+1}(h)$ 是使 $\{a_0(h), a_1(h), a_2(h), \ldots, a_k(h), a_{k+1}(h) \}$ 成为 $B_h$-集的最小正整数。则对所有 $h$ 有 $a_1(h) = 1$、$a_2(h) = h+1$ 且 $a_3(h) = h^2+h+1$。本文证明贪心 $B_h$-集的第四项 $a_4(h)$ 在 $h$ 为奇数时为 $\left( h^3 + 3h^2 + 3h + 1\right) /2$，在 $h$ 为偶数时为 $\left( h^3 + 2h^2 + 3h + 2\right) /2$。