有限度数图的边缘和

设 $G$ 为一个拥有 $n$ 个顶点的图，$(H,+)$ 为一个阿贝尔群。求所有映射 $A:V(G)\to H$ 的所有和 $A(u)+A(v)$ 所构成集合的最小大小 ${\sf S}_H(G)$。2012 年，第一作者、Angel、第二作者和 Lubetzky 证明了，对扩散图且 $H=\mathbb{Z}$ 时，此最小值为 $\Omega(\log n)$，且该界是紧的——存在一个规则扩散图 $G$ 使得 ${\sf S}_{\mathbb{Z}}(G)=O(\log n)$。我们证明，对每一个常数 $d\geq 3$，随机 $d$ regular 图 $\mathcal{G}_{n,d}$ 的求和集要大得多：几乎必然地，对每一个阿贝尔群 $H$，都有 ${\sf S}_H(\mathcal{G}_{n,d})=\Omega(n^{1-2/d})$。特别地，这证明了，对每一个 $\varepsilon>0$，存在一个拥有 $O(n)$ 条边且对所有阿贝尔群 $H$ 的求和集大小至少为 $n^{1-\varepsilon}$ 的规则图。求和集界 ${\sf S}_H(\mathcal{G}_{n,d})=\Omega(n^{1-2/d})$ 在多项式对数因子下是紧的：我们证明，对每一个 $3\leq d\leq \ln n/ \ln \ln n$，存在一个阿贝尔群 $H$，使得对于每一个拥有最大度数至多 $d$ 的 $n$ 顶点图 $G$，都有 ${\sf S}_H(G) \leq n^{1-2/d}(\log n)^{O(1)}$。我们也证明了，对 $d\gg\ln^2 n$，几乎必然地，对每一个阿贝尔群 $H$，都有 ${\sf S}_H(\mathcal{G}_{n,d})=n(1-o(1))$，并确定了次项，最多只差一个多项式对数因子。