基数约束的近最优编码

我们提出了几种新颖的基数约束编码，它们使用的子句比以前的编码更少，更重要的是，引入了构建紧凑编码的新通用技术。首先，我们为$\text{AtMostOne}(x_1,\dots,x_n)$约束提出了一种CNF编码，使用$2n + 2 \sqrt{2n} + O(\sqrt[3]{n})$个子句，从而反驳了Chen乘积编码的猜想最优性。我们的构造也为阈值-2函数产生了一个更小的单调电路，改进了Adleman已有50年历史的构造，并顺便解决了电路复杂性中一个长期存在的开放问题。另一方面，我们证明该约束的任何编码至少需要$2n + \sqrt{n+1} - 2$个子句，这是该约束的第一个非平凡无条件下界，并回答了Ku\v{c}era、Savick\'y和Vorel的一个问题。然后，我们将注意力转向$\text{AtMost}_k(x_1,\dots,x_n)$的编码，我们引入了“网格压缩”，一种受哈希表启发的技术，只要$k = o(\sqrt[3]{n})$，就给出使用$2n + o(n)$个子句的编码，只要$k = o(n)$，就给出使用$4n + o(n)$个子句的编码。此前，已知最小的编码对于$k \le 5$大小为$(k+1)n + o(n)$，对于$k \ge 6$大小为$7n - o(n)$。