关于循环图中定位码的两个猜想的证明

识别码和定位支配码在类型为 $C_n(1,2, \ldots, r)$ 的循环图中得到了广泛研究，这类图也可视为循环图的幂图。最近，Ghebleh 和 Niepel (2013) 考虑了循环图 $C_n(1,3)$ 中的识别与定位支配问题。他们证明，对于所有 $n \geq 9$，$C_n(1,3)$ 中定位支配码的最小基数至少为 $\lceil n/3 \rceil$，至多为 $\lceil n/3 \rceil + 1$。此外，他们证明了当 $n \equiv 0, 1, 4 \pmod{6}$ 时下界是严格的，并猜想对于其他 $n$，下界可以增加 1。本文证明了他们的猜想。类似地，他们证明，对于所有 $n \geq 11$，$C_n(1,3)$ 中识别码的最小基数至少为 $\lceil 4n/11 \rceil$，至多为 $\lceil 4n/11 \rceil + 1$。此外，他们证明了下界在大多数长度 $n$ 上均可达到，并猜想在其余情形下界可以改进 1。该猜想也在本文中得到证明。这些猜想的证明基于一种新颖的方法，该方法不再像识别与定位支配研究中通常那样仅利用图的局部性质，而是同时利用了码和底层图的全局性质。