关于无三角形图中识别码的大小

在无向图 $G$ 中，若子集 $C\subseteq V(G)$ 是 $G$ 的一个支配集，且 $V(G)$ 中的每个顶点都被 $C$ 中一个不同的顶点子集所支配，则称 $C$ 为 $G$ 的一个识别码。识别码的概念由 Karpovsky、Chakrabarty 和 Levitin 于 1998 年提出。对于一个给定的可识别图 $G$，令 $\M(G)$ 为 $G$ 中识别码的最小基数。在本文中，我们证明，对于任意具有 $n$ 个顶点且最大度 $\Delta\geq 3$ 的连通可识别无三角形图 $G$，有 $\M(G)\le n-\tfrac{n}{\Delta+o(\Delta)}$。由于包括 $(\Delta-1)$-叉树在内的各类图已知其最小识别码大小为 $n-\tfrac{n}{\Delta-1+o(1)}$，该界在常数因子意义下是渐近紧的。我们还为无三角形图的受限子族提供了改进的界，并猜想存在某个常数 $c$，使得界 $\M(G)\le n-\tfrac{n}{\Delta}+c$ 对任意非平凡连通可识别图 $G$ 成立。