论乘性丢番图逼近的度量理论

1962 年，Gallagher 证明了 Khintchine 丢番图逼近定理的高维版本。Gallagher 定理指出：对于任意非增逼近函数 $\psi:\mathbb{N}\to (0,1/2)$，满足 $\sum_{q=1}^{\infty} \psi(q)\log q=\infty$ 且 $\gamma=\gamma'=0$，如下集合 $$\{(x,y)\in [0,1]^2: \|qx-\gamma\|\|qy-\gamma'\|<\psi(q) \text{ infinitely often}\}$$ 具有满 Lebesgue 测度。近来，Chow 与 Technau 证明了上述结果的完全非齐次版本（对 $\gamma,\gamma'$ 无限制）。本文中，我们证明了纤维乘性丢番图逼近的一个 Erd\H{o}s-Vaaler 型结果。在此过程中，通过不同方法，我们证明了 Chow-Technau 定理的一个稍弱版本，条件为 $\gamma,\gamma'$ 中至少一个不是 Liouville 数。我们还将 Chow-Technau 的结果推广至 Liouville 纤维的纤维非齐次 Gallagher 定理。