扭曲的二次无理逼近中的素数时刻

Kurzweil（1955）的经典工作为任意固定的差距逼近数$\alpha$和单调递减函数$\psi$，给出关于齐次实参数$\gamma$的集合，其满足$\|n\alpha+\gamma\|\leq\psi(n)$具有无限多个整数解，并进一步指出$\alpha$为差距逼近数的假设是必要的。在本文中，我们将Kurzweil的陈述推广至限制$n\in\mathcal{A}$的情形，其中$\mathcal{A}\subseteq\mathbb{N}$具有某种乘法结构。我们证明对于差距逼近数$\alpha$，Kurzweil的结果可推广至一类更广泛的集合$\mathcal{A}$，从而在素数和两个平方数之和上建立Kurzweil类型的结果。此外，我们构造了非平凡集合$\mathcal{A}$，其中差距逼近数$\alpha$的假设是必要的。特别是，当$\mathcal{A}$为平方无因数数集合时，可提供关于差距逼近数的新表征。这些陈述尤其有助于在接受$\gamma$的Lebesgue测度为0的例外集时，改进固定差距逼近数$\alpha$及各种数论兴趣集合$\mathcal{A}$下，关于$\|n\alpha+\gamma\|\leq\psi(n)$具有无限多个$n\in\mathcal{A}$的已知最佳界限。