极限上集的测度论定律
摘要
给定一个配备非原子概率测度 m 的紧度量空间 (X,d) 以及一个实的、正的递减函数 p，我们考虑 X 的一类“自然”极限上子集 La(p)。度量 Diophantine 逼近理论中“良可逼近”数的经典极限上集属于此类。我们在“全局普适性”假设以及某个 m-体积级数发散的条件下证明 m(La(p))>0。事实上，在“局部普适性”假设下我们证明 La(p) 具有满测度；即 m(La(p))=1。这是数论中经典 Khintchine-Groshev 定理发散部分的类比。此外，若满足“局部普适性”假设且某个 f-体积级数发散，则我们能够证明 La(p) 的 Hausdorff f-测度为无穷。由此得到的一个简单推论是 La(p) 的 Hausdorff 维数下界以及关于相关“精确阶”集的维数与测度的若干结果。本质上，“局部普适性”概念出人意料地将关于自然测度 m 和一般 Hausdorff 测度的 La(p) 的“发散”型结果统一起来。该一般框架的应用包括数论、Kleinian 群和有理映射中的例子。即便对于“良可逼近”数的经典极限上集，该框架也加强了 Jarnik 的经典 Hausdorff 测度结果，并为 Hausdorff 测度意义下的 Duffin-Schaeffer 猜想开辟了道路。
引用
@article{arxiv.math/0401118,
title = {Measure theoretic laws for lim sup sets},
author = {Victor Beresnevich and Detta Dickinson and Sanju Velani},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0401118},
year = {2007}
}
备注
This is an updated version which has been accepted for publication by Memoirs of the AMS. Compared to earlier versions: Sections 1.1 and 1.2 have been moved around and various inaccuracies corrected