具有收敛傅里叶级数的 $L^1$ 中的逼近

对于一个可分的有限扩散测度空间 $\mathcal{M}$ 以及一个由有界函数 $\varphi_n\in L^\infty(\mathcal{M})$ 构成的正交规范基 $\{\varphi_n\}$ of $L^2(\mathcal{M})$，我们找到一个可测子集 $E\subset\mathcal{M}$，其补集任意小，即 $|\mathcal{M}\setminus E|<\epsilon$，使得每个可测函数 $f\in L^1(\mathcal{M})$ 都有一个逼近元 $g\in L^1(\mathcal{M})$，满足 $g=f$ 在 $E$ 上，且 $g$ 的傅里叶级数收敛于 $g$，并具有一些进一步的性质。该子集 $E$ 是通用的，即它不依赖于待逼近的函数 $f$。本文后续将这一结果推广到 $\mathcal{M}=G/H$ 为无限紧第二可数豪斯多夫群的齐性空间的情形。作为有益的说明，讨论了具有球谐函数的 $n$-球面情形。子集 $E$ 与逼近元 $g$ 的构造在文末简要给出。