紧连通李群上傅里叶级数的几乎处处收敛

我们考虑如下公开问题：紧连通李群 $G$ 上每个平方可积函数 $f$ 是否都有几乎处处收敛的傅里叶级数？我们证明了一个一般定理，由此推出若 $f$ 的积分连续模对某个 $a > 0$ 为 $O(t^a)$，则 $f$ 的傅里叶级数在 $G$ 上几乎处处收敛。特别地，$G$ 上任意 $a > 0$ 阶 Hölder 连续函数的傅里叶级数几乎处处收敛。另一方面，我们证明对 $G = SU(2)$ 的每个可数子集 $E$ 和每个 $0 < a < 1$，都存在一个 $SU(2)$ 上 $a$ 阶 Hölder 连续函数，其傅里叶级数在 $E$ 上发散。