遍历级数的几乎处处收敛性

我们考虑形式为 $\sum_{n=0}^\infty a_n f(T^n x)$ 的遍历级数，其中 $f$ 是相对于 $T$-不变测度 $\mu$ 具有零均值的可积函数。在动力系统 $T$、不变测度 $\mu$ 和函数 $f$ 满足某些条件的情况下，我们证明该级数 $\mu$-几乎处处收敛当且仅当 $\sum_{n=0}^\infty |a_n|^2<\infty$，并且在这种情况下，收敛级数的和是指数可积的并满足 Khintchine 型不等式。我们还证明了系统 $\{f\circ T^n\}$ 是 Riesz 系统当且仅当 $f$ 的谱测度相对于 Lebesgue 测度绝对连续，且 Radon-Nikodym 导数既有上界又有下界常数。我们验证了相对于双曲动力学 $T$ 的 Gibbs 测度 $\mu$ 和 H"{o}lder 函数 $f$ 的条件。最后给出了一个应用于研究 Weierstrass 型函数 $\sum_{n=0}^\infty a_n f(3^n x)$ 可微性的例子。