全局可观测量的 Birkhoff 平均值的逐点收敛

众所周知，无限遍历理论中 Birkhoff 遍历定理的严格类比是平凡的；它指出，对于任何保测无限遍历系统，每个可积函数的 Birkhoff 平均值几乎处处为零。也不存在对 Birkhoff 和进行不同重标度从而得到非退化逐点极限的方法。在本文中，我们针对保守、遍历、保测无限的动力学系统给出了一个版本的 Birkhoff 定理，其中我们使用 $L^\infty$ 的某些元素代替可积函数，我们统称其为全局可观测。我们的主定理适用于一般系统，但要求可观测满足“近似部分平均”假设。然而，正如我们通过一个例子所展示的，该结果背后的思想适用于更一般的情形。最后，通过反例和数值模拟，我们讨论了为保测无限系统寻找使 Birkhoff 定理成立的最优可观测类的问题。