无限测度保持动力系统的Birkhoff和的几乎必然渐近行为

我们考虑σ-有限测度空间$(X,\mathcal{B},\mu)$上满足$\mu(X)=\infty$的保守遍历测度保持变换$T$。给定观测函数$f:X\to \mathbb{R}$，我们研究Birkhoff和$S_Nf(x) := \sum_{j=1}^N\, (f\circ T^{j-1})(x)$的几乎必然渐近行为。在无限遍历理论中，众所周知$S_Nf(x)$的渐近行为强烈依赖于点$x\in X$；若$f\in L^1(X,\mu)$，则不存在实值序列$(b(N))$使得$\lim_{N\to\infty} S_Nf(x)/b(N)=1$几乎必然成立。本文中我们证明，对于有限测度集上诱导映射具有强混合假设的动力学系统，存在序列$(\alpha(N))$与$m\colon X\times \mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得对$f\in L^1(X,\mu)$有$\lim_{N\to\infty} S_{N+m(x,N)}f(x)/\alpha(N)=1$对$\mu$-a.e. $x\in X$成立。此外，若$f\not\in L^1(X,\mu)$，我们给出诱导观测函数的条件，使得存在依赖于$f$的序列$(G(N))$，满足$\lim_{N\to\infty} S_{N}f(x)/G(N)=1$对$\mu$-a.e. $x\in X$成立。