关于 Markovian 随机映射的物理测度的有限性
动力系统
2025-07-18 v1
摘要
我们研究 Markov 链驱动的离散时间随机动力学系统相关的 skew-product 变换 的物理测度的有限性。我们发展了框架，使用独立同分布 (i.i.d.) 的 Markov 过程表示，便于将已在伯努利 (i.i.d.) 环境中广泛研究的结果转移到 Markov 环境中。具体而言，我们建立了有限个 Ergodic、 不变测度的存在条件，这些测度相对于参考测度绝对连续，其统计吸引域在可测有界可观测量下几乎全覆盖相空间。进一步地，我们研究一种较弱的概念，要求有限个物理测度（不一定绝对连续）其 weak 吸引域几乎全覆盖相空间。我们证明，对于由有限状态空间上的 Markov 链驱动的紧度量空间上的随机映射，若系统主要收缩，即所有 Markovian 不变测度的最大 Lyapunov 指数均为负，则此性质成立。该结果用于圆和区间上的随机 微分分形，在条件基于不存在不变概率测度或不存在有限不变集时分别适用。我们还将结果与 H"older 连续函数空间上 Koopman 算子准紧性联系起来。
引用
@article{arxiv.2507.12736,
title = {Finitude of physical measures for Markovian random maps},
author = {Pablo G. Barrientos and Dominique Malicet and Fumihiko Nakamura and Yushi Nakano and Hisayoshi Toyokawa},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.12736},
year = {2025}
}
备注
30 pages