纯不可求长度量空间与 Lipschitz 函数的扰动

我们通过研究所有有界 1-Lipschitz 函数 $f\colon X \to \mathbb R^m$ 集合中的元素在一致范数意义下任意小的扰动，来刻画具有有限 Hausdorff $n$-测度的完备度量空间 $X$ 中的纯 $n$-不可求长子集 $S$。在其中一个刻画中表明，若 $S$ 几乎处处具有正下密度，则满足 $\mathcal H^n(f(S))=0$ 的所有 $f$ 之集合是剩余的（residual）。反之，若 $E\subset X$ 是 $n$-可求长的且 $\mathcal H^n(E)>0$，则满足 $\mathcal H^n(f(E))>0$ 的所有 $f$ 之集合是剩余的。这些结果在任意度量空间中提供了 Besicovitch-Federer 投影定理的替代，而已知该定理在欧氏空间之外不成立。