数之参数几何中的变分原理及其在度量丢番图逼近中的应用

我们通过证明一个变分原理，在度量丢番图逼近与参数化数字几何之间建立了新的联系，该原理便于计算丢番图逼近中许多感兴趣集合的豪斯多夫维数和填充维数。特别地，我们证明了奇异 $m\times n$ 矩阵集合的豪斯多夫维数和填充维数均等于 $mn \big(1-\frac1{m+n}\big)$，从而证明了 Kadyrov、Kleinbock、Lindenstrauss 和 Margulis 的一个猜想（预印本 2014），并回答了 Bugeaud、Cheung 和 Chevallier 的一个问题（预印本 2016）。我们引入了 $template$（模板）的概念，它将 $rigid$ $system$（刚性系统）(Roy, 2015) 的概念推广到矩阵逼近的情形。我们的主要定理形如：对于任意在有限扰动下封闭的模板类 $\mathcal F$，其逐次极小函数属于 $\mathcal F$（至多有限扰动）的矩阵集合的豪斯多夫维数和填充维数，可写为 $\mathcal F$ 上模板空间某些自然函数的上确界。除蕴含 KKLM 猜想外，该定理还有许多其他应用，包括计算见证 Starkov 猜想（2000）的点集以及见证 Schmidt 猜想（1983）的点集的豪斯多夫维数和填充维数。