参数数论几何中的一个变分原理
数论
2024-03-06 v9 动力系统
摘要
我们将参数数论几何（由 Schmidt 和 Summerer 创立，并由 Roy 深化）扩展到 个变量中 个线性形式的 Diophantine 逼近，并通过一个变分原理建立了与度量理论的新的联系，该变分原理计算各种具有数论意义的集合的分形维数。证明依赖于两个新要素：一个能够计算任意集合 Hausdorff 维数和 packing 维数的 Schmidt 博弈变体，以及推广 Roy 刚性系统的模板概念。特别地，我们计算了奇异线性形式集合的 Hausdorff 维数和 packing 维数，并证明它们相等，从而解决了 Kadyrov、Kleinbock、Lindenstrauss 和 Margulis 的猜想，以及 Bugeaud、Cheung 和 Chevallier 的问题。作为 Dani 对应原理的推论，在具有恰好两个符号相反的 Lyapunov 指数的幺模格空间上，单参数对角作用的发散轨迹具有相等的 Hausdorff 维数和 packing 维数。其他应用包括对 Cheung 和 Moshchevitin 定理的定量强化，这些定理最初分别解决了 Starkov 和 Schmidt 的猜想；以及关于二维同时逼近与对偶逼近的无理度均匀指数的维数公式，完善了 Baker、Bugeaud、Cheung、Chevallier、Dodson、Laurent 和 Rynne 的部分结果。
引用
@article{arxiv.1901.06602,
title = {A variational principle in the parametric geometry of numbers},
author = {Tushar Das and Lior Fishman and David Simmons and Mariusz Urbański},
journal= {arXiv preprint arXiv:1901.06602},
year = {2024}
}
备注
now with a uniform version of the main variational principle