流形上的丢番图逼近与 Hausdorff 维数的下界

给定 $n\in\mathbb{N}$ 与 $\tau>\frac1n$，令 $\mathcal{S}_n(\tau)$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中经典的 $\tau$-可逼近点集，它由满足如下条件的 ${\bf x}\in \mathbb{R}^n$ 组成：对无穷多个 $q\in\mathbb{N}$，${\bf x}$ 与格 $\frac1q\mathbb{Z}^n$ 的距离在 $q^{-\tau-1}$ 之内。在开创性工作中，Kleinbock $\&$ Margulis 证明了对于 $\mathbb{R}^n$ 的任意非退化子流形 $\mathcal{M}$ 及任意 $\tau>\frac1n$，$\mathcal{M}$ 上几乎所有点都不是 $\tau$-可逼近的。大量后续论文致力于通过研究相应零集 $\mathcal{M}\cap\mathcal{S}_n(\tau)$ 的 Hausdorff 测度与维数来加强该结果。本文提出一种基于质量转移原理的新方法，使我们能对 $\mathbb{R}^n$ 的任意 $C^2$ 子流形 $\mathcal{M}$ 及任意满足 $\frac1n\le\tau<\frac1m$ 的 $\tau$ 找到 $\dim \mathcal{M}\cap\mathcal{S}_n(\tau)$ 的锐下界。此处 $m$ 为 $\mathcal{M}$ 的余维数。我们还表明关于 $\tau$ 的条件是最好可能的，并将结果推广到一般逼近函数。