分形地毯的测度刚性与均匀分布

设 $\theta$ 为一个伯努利测度，其对由有限个收缩有理仿射变换生成的随机游走是平稳的。令 $\mathcal{K} = \mathrm{supp}(\theta)$ 为相应的吸引子。维数 $d=1$ 的例子是康托尔集中间三分之一集的 Hausdorff 测度，更高维度的例子包括缺失数集、谢尔宾斯基地毯和门ner 泥 sponge。令 $\nu$ 表示 $\theta$ 在映射 $\mathcal{K} \to \mathrm{SL}_{d+1}(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_{d+1}(\mathbb{Z})$ 下的像，其中将 $x$ 映射到格子 $\Lambda_x = \mathrm{span}_{\mathbb{Z}}(e_1,\ldots,e_d,e_{d+1} + (x,0))$。我们证明了在任何发散序列的对角矩阵序列 $(a_n)\subset\mathrm{SL}_{d+1}(\mathbb{R})$ 下，对压制测度 $a_{n*}\nu$ 的推送测度进行均匀分布。该序列在一种自然的非质量逃逸条件下会扩张前 $d$ 个坐标。后者在 $\theta$ 为绝对友好的情况下成立。我们还表明，加权的差良逼近向量和 Dirichlet-可改进向量（对于任意范数）形成 $\mathcal{K}$ 中 $\theta$-测度为零的子集。关键工具是对关联随机游走在 $S$-算术空间上平稳测度的测度分类定理，这一定理由首两个作者在早期工作中引入。本 setting 的新特征是，该随机游走 admits 平稳测度，这些测度不一定是不变的。