有限型测度的局部维数

我们研究了一类等压缩自相似有限型测度的多重分形分析，其支撑集为一个区间。有限型是比开集条件弱但比弱开集条件强的性质。例子包括收缩因子为 Pisot 数倒数的 Bernoulli 卷积，以及与 m 重 Cantor 集和值相关的自相似测度，其剖分比为 1/R（R 为整数且 R ≤ m）。我们引入了一个称为回路类的组合概念，并证明了测度在正回路类中点处的可达局部维数集合是一个闭区间。我们证明了回路类中周期点处的局部维数是稠密的，并给出了这些局部维数的简单公式。这些自相似测度有一个称为本质类的特殊正回路类。本质类中的点在测度的支撑集中具有满 Lebesgue 测度，通常除支撑集的两个端点外即为全部。因此，许多（但非全部）有限型测度的局部维数集合中至多有一个孤立点。我们给出了局部维数集合由一个区间和一个孤立点组成的 Bernoulli 卷积例子，以及一个恰好具有两个不同局部维数的有限型测度例子。