Hutchinson 定理的逆命题及自仿射测度的维数隙
动力系统
2021-06-22 v2 度量几何
摘要
J.E. Hutchinson 的一个著名定理指出：若一个迭代函数系统由相似变换组成并满足开集条件，则其吸引子支撑一个 Hausdorff 维数等于相似维数的自相似测度。在本文中，我们证明如下结果，可视为一种部分逆形式：若一个迭代函数系统由可逆仿射变换组成，且其线性部分不保持公共不变子空间，并且其吸引子支撑一个 Hausdorff 维数等于仿射维数的自仿射测度，则该系统必然由相似变换组成。我们通过证明仿射迭代函数系统的平衡测度绝不为 Bernoulli 测度，除非该系统可约或由相似变换组成，从而得到该结果。证明建立在 Bochi、Feng、K\"aenm\"aki、Shmerkin 及第一作者先前关于仿射迭代函数系统热力学形式化的结果之上，并依赖于 Benoist 关于约化线性群的 Zariski-稠密 子半群的谱性质的工作。
引用
@article{arxiv.1909.08532,
title = {A converse statement to Hutchinson's theorem and a dimension gap for self-affine measures},
author = {Ian D. Morris and Cagri Sert},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.08532},
year = {2021}
}
备注
48 pages, 1 figure. v1 --> v2: an appendix added (including an additional theorem), minor corrections and changes in the main text after referee reports, to appear in J. Eur. Math. Soc. (JEMS)