基于非共形划分的对角自仿射集与测度的维数

设 $\Phi:=\left\{ (x_{1},...,x_{d})\rightarrow\left(r_{i,1}x_{1}+a_{i,1},...,r_{i,d}x_{d}+a_{i,d}\right)\right\} _{i\in\Lambda}$ 为 $\mathbb{R}^{d}$ 上的仿射对角 IFS。假设对每个 $1\le j_{1}<j_{2}\le d$ 存在 $i\in\Lambda$ 使得 $|r_{i,j_{1}}|\ne|r_{i,j_{2}}|$，且对每个 $1\le j\le d$，实直线上的 IFS $\left\{ t\rightarrow r_{i,j}t+a_{i,j}\right\} _{i\in\Lambda}$ 是指数分离的。在此假设下，我们证明 $\Phi$ 的吸引子的 Hausdorff 维数等于 $\min\left\{ \dim_{A}\Phi,d\right\}$，其中 $\dim_{A}\Phi$ 为亲和维数。这源于一个关于自仿射测度的结果：在附加假设 $\Phi$ 中映射的线性部分均包含于一个 $1$ 维子群下，相关的自仿射测度 $\mu$ 的维数等于其 Lyapunov 维数与 $d$ 的最小值。证明的大部分致力于 $\mu$ 与一般具有不可忽略熵的测度 $\theta$ 之卷积的熵增结果，其中熵是相对于对应于 $\mu$ 的 Lyapunov 指数的非共形划分来度量的。结果表明，相对于这些划分，$\theta$ 的重复自卷积的跨尺度熵行为与共形情形截然不同。对此非共形多尺度熵的分析是证明的主要构成，也是本文的主要创新之处。