关于典型自仿射集合和测度的正交投影维数

设 $T_1,\ldots, T_m$ 为一族 $d\times d$ 可逆实矩阵，满足 $\|T_i\|<1/2$，其中 $1\leq i\leq m$。对于 ${\bf a}=(a_1,\ldots, a_m)\in {\Bbb R}^{md}$，设 $\pi^{\bf a}\colon \Sigma=\{1,\ldots, m\}^{\Bbb N}\to {\Bbb R}^d$ 为与仿射 IFS $\{T_ix+a_i\}_{i=1}^m 关联的编码映射，设$K^{\bf a}$为该 IFS 的吸引子。设$W$为${\Bbb R}^d$的一个线性子空间，$P_W$为其正交投影。我们证明对于$\mathcal L^{md}$-a.e.~${\bf a}\in {\Bbb R}^{md}$，$P_W(K^{\bf a})$的 Hausdorff 维数和盒计数维数相等且由与$T_1,\ldots, T_m$和$W$相关的特定压函数的零点决定。此外，对于每一个 ergodic$\sigma$-invariant measure$\mu$on$\Sigma$，以及$\mathcal L^{md}$-a.e.~${\bf a}\in {\Bbb R}^{md}$，$(P_W\pi^{\bf a})_*\mu$的局部维数几乎处处存在，这里的$(P_W\pi^{\bf a})_*\mu$表示$\mu$由$P_W\pi^{\bf a}$的推送前沿。然而，正如由例子所示，$(P_W\pi^{\bf a})_*\mu$对于$\mathcal L^{md}$-a.e.~${\bf a}\in {\Bbb R}^{md}$可能不是 exact dimensional 的。尽管如此，当$\mu$为 Bernoulli product measure，或更一般地为超乘性 ergodic$\sigma$-invariant measure 时，$(P_W\pi^{\bf a})_*\mu$对于$\mathcal L^{md}$-a.e.~${\bf a}\in {\Bbb R}^{md}$ 是 exact dimensional 的。