欧氏空间中几乎必然单射投影的正则性

在先前工作中我们证明，若欧氏空间中的有限 Borel 测度 $\mu$ 的豪斯多夫维数小于正整数 $k$，则到几乎所有 $k$ 维线性子空间的正交投影在 $\mu$-满测度集上是单射的。本文研究这些投影之逆的正则性，并证明若 $\mu$ 具有紧支撑 $X$，且 $X$ 的豪斯多夫、上盒维数或 Assouad 维数（分别对应）小于 $k$，则其逆为（分别对应）连续、对某 $\alpha \in (0,1)$ 逐点 $\alpha$-Hölder 或对每 $\alpha \in (0,1)$ 逐点 $\alpha$-Hölder。结果推广到 Lipschitz 映射的典型线性扰动情形，并加强了无损模拟压缩文献中已知结论。我们给出例子说明所述命题的尖锐性。此外，我们在平面上构造了一个非平凡测度，其在每个方向上都容许几乎必然单射投影，并证明不存在具有此性质的齐次自相似测度。