立方体与一般乘积测度随机投影的新审视

我们推导了 $n$ 维立方体 $d$ 维随机投影的强大数定律。它表明，关于 Hausdorff 距离，适当归一化的 $[-1,1]^n$ 到 $\mathbb{R}^d$ 的随机投影在 $n\to\infty$ 时几乎必然收敛于半径为 $\sqrt{2/\pi}$ 的居中 $d$ 维欧氏球。对于该球内的每一点，我们确定了被投影到‘靠近’该点处的立方体顶点数的渐近值以及相应部分的体积。此外，研究了一般乘积测度随机投影的大偏差。令 $\nu^{\otimes n}$ 为 $\mathbb{R}$ 上 Borel 概率测度 $\nu$ 的 $n$ 重乘积测度，令 $I$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中正交 $d$ 标架的 Stiefel 流形上均匀分布。我们证明随机测度序列 $\nu^{\otimes n}\circ(n^{-1/2}I^*)^{-1}$（$n\in\mathbb{N}$）以概率 $1$ 满足大偏差原理。速率函数用 $\nu$ 的矩生成函数显式给出。证明的核心是一个转移技巧，它允许以高斯投影替代均匀投影。我们也讨论了一些具体例子，包括立方体 $[-1,1]^n$ 和离散立方体 $\{-1,1\}^n$ 上的均匀分布作为特例。