立方体上均匀分布的投影——大偏差视角

设 $\Theta^{(n)}$ 为 $\mathbb R^n$ 中单位球面 $\mathbb S^{n-1}$ 上的均匀随机向量。考虑立方体 $[-1,1]^n$ 上均匀分布到由 $\Theta^{(n)}$ 张成的直线上的投影。投影分布是 $\mathbb R$ 上的随机概率测度 $\mu_{\Theta^{(n)}}$，定义为：对 $\mathbb{R}$ 的 Borel 子集 $A$，$$\mu_{\Theta^{(n)}}(A) := \frac 1 {2^n} \int_{[-1,1]^n} \mathbb 1\{\langle u, \Theta^{(n)} \rangle \in A\} du.$$ 众所周知，以概率 $1$，随机概率测度序列 $\mu_{\Theta^{(n)}}$ 弱收敛于方差为 $1/3$ 的零均值高斯分布。我们证明了序列 $\mu_{\Theta^{(n)}}$ 在 $\mathbb R$ 上概率测度空间上以速率 $n$ 满足大偏差原理。其（好的）速率函数显式给出为：当 $\nu(\alpha)$ 是形如 \begin{align*} \sqrt{1 - \|\alpha\|_2^2 } \frac{Z}{\sqrt 3} + \sum_{ k = 1}^\infty \alpha_k U_k \end{align*} 的随机变量之律时，$I(\nu(\alpha)) := - \frac{1}{2} \log ( 1 - \|\alpha\|_2^2)$，其中 $Z$ 为标准高斯变量，独立于 $U_1,U_2,\ldots$，而后者为独立同分布的 $\text{Unif}[-1,1]$，且 $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \ldots$ 是一个非负的非增实数列并满足 $\|\alpha\|_2<1$。我们对离散立方体 $\{-1,+1\}^n$ 上均匀分布的随机投影得到了类似结果。