$\ell_p^n$ 球的随机投影的淬灭大偏差原理

设 $(k_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 为以亚线性速率趋于无穷的正整数序列，即 $k_n \rightarrow \infty$ 且 $k_n/n \rightarrow 0$（当 $n \rightarrow \infty$）。给定一列属于某一类的 $n$ 维随机向量 $\{Y^{(n)}\}_{n \in \mathbb{N}}$，该类包含适当缩放的 $\ell_p^n$ 球或 $\ell_p^n$ 球面上的均匀分布（$p \geq 2$）以及具有次高斯边缘的分布的乘积分布，我们研究相应 $k_n$ 维正交投影 $n^{-1/2} \boldsymbol{a}_{n,k_n} Y^{(n)}$ 的大偏差行为，其中 $\boldsymbol{a}_{n,k_n}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中标准正交 $k_n$ 标架的 Stiefel 流形上的 $(n \times k_n)$ 维投影矩阵。对几乎每一列投影矩阵，我们建立了相应投影序列的大偏差原理（LDP），其速率函数相当显式且不依赖于投影矩阵序列。作为推论，我们还得到了投影坐标的 $\ell_2$ 范数与 $\ell_\infty$ 范数序列的淬灭 LDP。以往关于维数增长的投影的 LDP 研究主要关注退火情形，即对从 Haar 测度选取的随机投影矩阵也取平均，此时投影的坐标是可交换的。淬灭情形缺乏此类对称性，并在投影维数增长的设定下带来显著的新挑战。在此过程中，我们建立了 Stiefel 流形上新的高斯逼近结果，其本身可能具有独立意义。此类 LDP 在渐近凸几何、统计物理和高维统计中是相关的。