$\ell_p$球的奇异阴影

我们证明了当$2 < p \leq \infty$时，单位球$\mathbb{B}_p^n$在$\mathbb{R}^n$中随机$k$维线性子空间上的正交投影关于$n \to \infty$的大偏差原理；当$1 \leq p < 2$时，$\mathbb{B}_p^n$与随机$k$维子空间的交集的大偏差原理。相应的速率函数仅在$L_q$锥形及其对偶形上有限，并以$1/p + 1/q = 1$的条件给出，其中$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。具体而言，我们获得了经规范化的投影/截面几乎必然趋于特定半径的$k$维欧几里得球。此外，我们识别了随机正交投影保持在较小半径的球内的渐近概率。作为副产品，我们得到了Gamma函数的一个有趣不等式。