$\ell_p^n$ 球面与球体的随机投影的几何精细大偏差

高维概率测度投影的尾概率的准确估计在高维统计与渐近几何分析中具有重要意义。大偏差原理确定了概率的渐近指数衰减率，而精细大偏差估计还给出了指数衰减项之前的“前置因子”。对固定的 $p \in (1,\infty)$，考虑独立的随机向量序列 $(X^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ 和 $(\Theta^n)_{n \in \mathbb{N}}$，其中 $\Theta^n$ 依单位 $\ell_2^n$ 球面上的归一化锥测度分布，$X^{(n,p)}$ 依单位 $\ell_p^n$ 球面上的归一化锥测度分布。对 $(\Theta^n)_{n\in\mathbb{N}}$ 的几乎每个实现 $(\theta^n)_{n\in\mathbb{N}}$，建立了 $X^{(n,p)}$ 在 $\theta^n$ 上适当归一化（标量）投影的（淬火）精细大偏差估计，其在渐近意义下精确（当维数 $n$ 趋于无穷时）。此外，还考虑了将 $(X^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ 替换为 $(\mathscr{X}^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ 的情形，其中 $\mathscr{X}^{(n,p)}$ 依单位 $\ell_p^n$ 球体上的均匀（或归一化体积）测度分布。在这两种情形下，与（淬火）大偏差率函数相反，前置因子表现出对投影方向 $(\theta^n)_{n \in\mathbb{N}}$ 的依赖性，其编码了额外的几何信息，使得能够区分球体与球面的投影。此外，与通过直接计算和重要性采样获得的数值估计的比较表明，所得到的尾概率解析表达式即便对中等大小的 $n$ 也提供了良好的近似。