具有泊松平衡分布的液滴模型的详细大偏差分析

本文的主要贡献之一是阐明如何利用大偏差理论来确定一个基本液滴模型的平衡分布，该模型构成了材料科学和统计力学中许多重要模型的基础。该模型定义简单：将 $K$ 个可区分粒子随机放置在格点的 $N$ 个位置上，其中比值 $K/N$（即每个位置的平均粒子数）等于常数 $c \in (1,\infty)$。我们关注每个位置至少被一个粒子占据的构型。主要结果是大偏差原理（LDP），适用于 $K \rightarrow \infty$ 且 $N \rightarrow \infty$ 同时满足 $K/N = c$ 的极限情形，针对的是随机数密度测度序列，这些测度是计数液滴大小的相依随机变量的经验测度。LDP 中的速率函数是相对熵 $R(\theta | \rho^*)$，其中 $\theta$ 是数密度测度可能的渐近构型，而 $\rho^*$ 是限制在正整数集上的泊松分布。该 LDP 揭示了 $\rho^*$ 是数密度测度的平衡分布，进而意味着 $\rho^*$ 是计数液滴大小的随机变量的平衡分布。我们通过局部大偏差估计推导了该 LDP，即针对这些随机测度范围内的任意概率测度 $\theta$，估计数密度测度等于 $\theta$ 的概率。