凸集上的中心极限定理
度量几何
2009-11-11 v2 概率论
摘要
设 X 为一个随机向量，它在某个 n 维凸集中均匀分布。有人猜想当维数 n 非常大时，存在一个非零向量 u，使得实随机变量 <X,u> 的分布接近于高斯分布。一个被充分理解的情形是当 X 在 n 维立方体中均匀分布时。在此情形下，如前古典中心极限定理所示，对于例如向量 u = (1,...,1) / sqrt(n)，<X,u> 近似高斯。我们证明了一般凸集情形下的该猜想。此外，当 X 的期望为零且 X 的协方差为单位矩阵时，我们证明对“大多数”单位向量 u，随机变量 <X,u> 近似地按高斯律分布。我们论证凸性——以及或许一般地几何——可以在中心极限定理所表征现象的某些方面替代独立性的作用。
引用
@article{arxiv.math/0605014,
title = {A Central Limit Theorem for Convex Sets},
author = {B. Klartag},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0605014},
year = {2009}
}
备注
41 pages; references added, proofs of standard lemmas omitted