乘积空间中的统一大数定律

统一的大数定律是 Vapnik--Chervonenkis 理论的基石，其中由 VC 维的有限性所特征。本文研究乘积空间中的统一收敛现象，在底层分布假设与乘积结构兼容的条件下。具体而言，我们假设分布相对于其边际分布的乘积是绝对连续的，这捕获了包括乘积分布、稀疏混合分布、低互信息分布等许多自然情形。我们表明，在此假设下，若一个事件族的线性 VC 维是有限的，则该事件族满足统一大数定律。线性 VC 维定义为位于轴平行线上的最大被掰集的集合大小，即所有坐标除最多一个之外都相同的向量集合。该维度始终小于等于经典 VC 维，但可以任意小。例如，$\mathbb{R}^d$ 中凸集族的线性 VC 维为2，而其 VC 维在 $d\ge 2$ 时已是无限。我们的证明依赖于与标准经验均值估计器大相径庇的估计器，具有更复杂的结构。我们表明，这些偏离标准经验均值估计器的做法在此环境中是不可避免的。本文提出了若干开放问题，特别关注定量样本复杂度界限。