具有有界 VC 维的集合的卷积是一致连续的

我们研究群中子集的 VC 维概念，将集合 $A$ 的 VC 维定义为族 $\{ (xA) \cap A : x \in A\cdot A^{-1} \}$ 的 VC 维。我们证明，若阿贝尔群的有限子集 $A$ 具有有界 VC 维，则卷积 $1_A*1_{-A}$ 在 Bohr 意义下是一致连续的，且具定量强意义。这从多方面推广并加强了 Terry 与 Wolf 的稳定算术正则引理的一个版本。特别地，它直接蕴含具有有界 VC 维的集合满足多项式 Bogolyubov--Ruzsa 猜想——即多项式 Freiman--Ruzsa 猜想的一个强版本。我们还证明了非阿贝尔情形下的一些结果。在某种意义下，这给出了具有有界（经典）VC 维的平移闭集系的一个结构定理：若阿贝尔群子集的一个 VC 有界族在平移下封闭，则每个成员在微小误差范围内可由 Bohr 集简单描述。