树状图中可定义集合系统的VC密度

我们研究在图中使用具有不同表达能力的逻辑变体可定义的集合系统。我们的焦点是 Vapnik-Chervonenkis 密度的概念：即界定此类集合系统限制基数的多项式的最小可能次数。一方面，我们证明若 $\varphi(\bar x,\bar y)$ 是一个固定的 CMSO$_1$ 公式且 $\cal C$ 是一个具有一致有界团宽的图类，则由 $\varphi$ 在来自 $\cal C$ 的图中定义的集合系统的 VC 密度至多为 $|\bar y|$，这是人们所能期望的最小界。我们还展示了当 $\varphi(\bar x,\bar y)$ 是一个 CMSO$_2$ 公式且 $\cal C$ 是一个具有一致有界树宽的图类时的类似结论。我们通过以下结果补充这些结论：若 $\cal C$ 具有无界团宽（相应地，树宽），则在关于 $\cal C$ 的一些温和技术假设下，由 CMSO$_1$（相应地，CMSO$_2$）公式在来自 $\cal C$ 的图中可定义的集合系统可能具有无界 VC 维，从而也具有无界 VC 密度。