低VC维超图的命中集问题
数据结构与算法
2016-06-22 v2 组合数学
摘要
我们研究在避免某些子结构的集系统（超图）中命中集问题的复杂性。特别地，我们刻画了当输入的Vapnik-Chervonenkis维（VC维）较小时该问题的经典复杂性和参数复杂性。VC维是集系统复杂性的自然度量。已知若干具有几何或图论色彩的命中集易处理实例具有低VC维。在有限VC维的集系统中，命中集已知允许高效且近乎最优的近似算法（Brönnimann and Goodrich, 1995; Even, Rawitz, and Shahar, 2005; Agarwal and Pan, 2014）。与这些近似结果相反，低VC维并不一定意味着参数意义上的易处理性。事实上，我们证明命中集在VC维为2的输入上已经是W[1]-难的，即使对偶集系统的VC维也为2。因此，命中集即使在这种可以说简单的情况下也极不可能是固定参数可处理的。这回答了King在2010年提出的一个开放问题。对于（原始或对偶）VC维为1的集系统，我们证明命中集可在多项式时间内求解。为了弥合VC维为1和2的输入类之间的复杂性差距，我们使用了一个比VC维更细粒度的度量。根据该度量，我们确定了命中集复杂性从多项式时间可解过渡到NP难的尖锐阈值。恰好位于阈值之下的易处理类是对边覆盖（Edge Cover）的推广，从而扩展了命中集的多项式时间可处理域。
引用
@article{arxiv.1512.00481,
title = {Hitting Set for hypergraphs of low VC-dimension},
author = {Karl Bringmann and László Kozma and Shay Moran and N. S. Narayanaswamy},
journal= {arXiv preprint arXiv:1512.00481},
year = {2016}
}
备注
to be presented at ESA 2016