关于半空间相对于凸集的VC维
计算几何
2023-06-22 v5 离散数学
数据结构与算法
组合数学
摘要
平面上一族凸集S按如下方式定义一个超图H = (S, E)。S的每个子族S'定义一个H的超边，当且仅当存在一个半空间h完全包含S'，且S中无其他集合被h完全包含。此时，我们称h实现了S'。若S的所有子集都被实现，则称S被击碎。超图H的VC维是最大击碎集的大小。我们证明了平面中两两不相交凸集的VC维以3为界，且这是紧的。相反，我们证明了平面中（不一定不相交的）凸集的VC维是无界的。我们给出了平面中被击碎凸集族中相交集合对数目的二次下界。我们还证明了对于d > 2，R^d中两两不相交凸集的VC维是无界的。我们关注平面中（可能相交的）线段，并确定其VC维始终至多为5。这是紧的，因为我们构造了一组可被击碎的五个线段。我们给出了两个示例应用，一个用于几何集合覆盖问题，一个用于范围查询数据结构问题，以说明我们发现的动机。
引用
@article{arxiv.1907.01241,
title = {On the VC-dimension of half-spaces with respect to convex sets},
author = {Nicolas Grelier and Saeed Gh. Ilchi and Tillmann Miltzow and Shakhar Smorodinsky},
journal= {arXiv preprint arXiv:1907.01241},
year = {2023}
}