${\Bbb F}_q^2$中的VC维与点构型

设$X$为一集合，${\mathcal H}$为从$X$到$\{0,1\}$的一族函数。若${\mathcal H}$在有限集$C \subset X$上的限制给出从$C$到$\{0,1\}$的每一个可能函数，则称${\mathcal H}$粉碎(shatters)$C$。${\mathcal H}$的VC维是最大的数$d$，使得存在被${\mathcal H}$粉碎的大小为$d$的集合，且不存在被${\mathcal H}$粉碎的大小为$d+1$的集合。Vapnik与Chervonenkis于70年代初在学习理论背景下引入该概念，且此概念对数学其他领域也有显著影响。本文研究定义在${\Bbb F}_q^d$(具有$q$个元素的有限域上的$d$维向量空间)上的一族函数${\mathcal H}$的VC维。定义$${\mathcal H}^d_t=\{h_y(x): y \in {\Bbb F}_q^d \},$$其中对$x \in {\Bbb F}_q^d$，$h_y(x)=1$若$||x-y||=t$，否则为$0$，此处及全文记$||x||=x_1^2+x_2^2+\dots+x_d^2$。这里$t \in {\Bbb F}_q$，$t \not=0$。对$E \subset {\Bbb F}_q^d$以相同方式定义${\mathcal H}_t^d(E)$。此处学习任务为寻找以某点$y \in E$为中心、半径$t$的球，该中心对学习器未知。学习过程由抽取$E$中足够大尺寸的随机样本组成。我们将证明当$d=2$且$|E| \ge Cq^{\frac{15}{8}}$时，${\mathcal H}^2_t(E)$的VC维等于$3$。这引出一个错综复杂的构型问题，其本身饶有趣味且需要新方法。