几何概念的在线 $\varepsilon$ 网格与刺穿集

VC 维数和 $\varepsilon$ 网格是统计学习理论中的关键概念。直观地说，VC 维度是一类集合大小的度量。著名的 $\varepsilon$ 网格定理是离散几何中的一个基本结果，断言：如果集合系统的 VC 维度受限，则存在一个小样本集，可与所有足够大的集合相交。在数据按顺序到达的在线学习场景中，VC 维度有助于界定集合系统的复杂性，$\varepsilon$ 网格确保选择小而具代表性的集合。此采样框架在多个领域至关重要，包括空间数据分析、动态环境中的运动规划、传感器网络优化以及计算机视觉中的特征提取等。为此，我们研究具有受限 VC 维度的几何概念的在线 $\varepsilon$ 网格问题。尽管该问题的离线版本已被广泛研究，但目前尚无任何关于在线版本的理论结果。我们提出首个针对 $\mathbb{R}$ 中的区间的最优竞争比的确定性在线算法。随后，我们给出针对 $\mathbb{R}^d$ 中轴对齐矩形（$d \leq 3$）的接近最优竞争比的随机在线算法。此外，我们引入一种新技术，用于分析 $\mathbb{R}^d$ 中描述复杂度为常数的相似大小对象的行为，这可能是独立的有趣成果。接下来，我们关注该问题的连续版本，其中集合系统的范围是几何概念按在线方式到达的，但宇宙是整个空间，目标是选择小样本以与所有范围相交。