凸集不相交性、半空间的分布式学习与线性规划可行性

我们研究凸集不相交性（CSD）问题，其中两名玩家的输入集合取自任意固定域 $U\subseteq \mathbb{R}^d$，其大小 $\lvert U\rvert = n$。他们的共同目标是以最小通信量判定其集合的凸包是否相交（等价地，其集合是否可被超平面分离）。该问题的不同形式自然出现在分布式学习与优化中：它等价于{\em 分布式线性规划（LP）可行性}——分布式优化中的基本任务，并且它与{\it 在 $\mathbb{R}^d$ 中半空间的分布式学习}紧密关联。在{通信复杂性理论}中，CSD 可视为经典问题{集合不相交性}（当 $d\geq n-1$ 时）与{Greater-Than}（当 $d=1$ 时）之间的几何插值。我们确立了在 $\mathbb{R}^d$ 中学习半空间的通信复杂性的近乎紧界 $\tilde \Theta(d\log n)$。对于凸集不相交性（以及等价的分布式 LP 可行性任务），我们推导出上界 $\tilde O(d^2\log n)$ 与下界 $\Omega(d\log n)$。这些结果改进了分布式学习与优化中若干先前工作。与通信复杂性中的典型工作不同，本工作的主要技术贡献在于上界。具体而言，我们的协议基于{\it 半空间容器引理}与{\it Carath\'eodory 定理}的两个变体，它们可能具有独立意义。这些几何陈述被我们的协议用来提供玩家输入的压缩摘要。